Oleh karena kata “probabilitas” (peluang) bisa memiliki beberapa arti, maka macam-macam arti tersebut akan lebih mudah dipahami dengan bantuan digunakannya beberapa ilustrasi. Di tulisan ini, ilustrasi pertama akan menggunakan koin. Ilustrasi kedua menggunakan kaleng yang berisi kelereng-kelereng.
Ragam Pendekatan
Ada dua pendekatan di dalam menghitung estimasi probabilitas terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa, yakni pendekatan matematis dan pendekatan statistik. Probabilitas matematis – disebut juga teoritis – bersifat apriori dan rasionalistis. Probabilitas statistik bersifat empiris, dengan menggunakan eksperimen ataupun observasi.
Selain itu, probabilitas juga bisa dibedakan dari jumlah peristiwa, yakni peristiwa individual dan peristiwa majemuk. Pada peristiwa individual, atau peristiwa sederhana, estimasi dilakukan dengan menggunakan Teori Klasik dan Frekuensi Relatif.
Teori Probabilitas Klasik bersifat matematis. Banyaknya peristiwa yang diinginkan dibagi oleh total banyaknya peristiwa yang mungkin terjadi.
Pada satu keping koin, di satu sisi terdapat gambar kepala dan di sisi yang lain terdapat gambar ekor. Satu koin tersebut akan dilempar sebanyak satu kali lemparan. Hasil yang dikehendaki adalah perolehan sisi gambar kepala. Probabilitas perolehan gambar kepala dalam satu kali lemparan terhadap satu koin tersebut adalah:
P(Kepala) = 1/2
Ilustrasi berikutnya menggunakan kaleng berisi kelereng-kelereng. Ada satu kaleng. Di dalam kaleng tersebut terdapat 5 kelereng berwarna merah, 7 kelereng kuning, dan 8 kelereng hijau. Secara total, ada 20 kelereng.
Hendak dilakukan satu kali pengambilan kelereng di dalam kaleng tersebut. Hanya akan diambil satu kelereng. Kelereng yang dikehendaki adalah berwarna merah. Probabilitas perolehan kelereng warna merah adalah:
P(Merah) = 5/20 = 1/4
Teori Frekuensi Relatif bersifat empiris. Banyaknya peristiwa, yang diinginkan, yang terjadi dibagi oleh total banyaknya percobaan (atau kegiatan).
Satu koin dilempar sebanyak 100 kali. Dari pencatatan seluruh lemparan, diperoleh hasil akhir sisi gambar kepala berada di atas sebanyak 51 kali. Probabilitas perolehan gambar kepala tersebut adalah:
P(Kepala) = 51/100 = 0,51
Terhadap kaleng berisi kelereng, dilakukan pengambilan kelereng sebanyak 100 kali. Masing-masing diambil satu kelereng pada setiap pengambilan. Setiap kelereng yang telah diambil kemudian dikembalikan ke dalam kaleng lagi. Hasil-hasilnya dicatat. Setelah selesai 100 kali pengambilan, tercatat hasil akhir perolehan kelereng warna merah sebanyak 9 kali. Probabilitas terpilihya kelereng warna merah tersebut adalah:
P(Merah) = 9/100 = 0,09
Perlu juga disinggung tentang Frekuensi Harapan (Expected Frequency). Pada Frekuensi Harapan (FH), probabilitas peristiwa dalam teori klasik dikalikan dengan banyaknya percobaan.
Satu koin akan dilempar sebanyak 100 kali. Sebelum lemparan dilakukan, terlebih dahulu dihitung probabilitas Frekuensi Harapan perolehan gambar kepala untuk 100 kali lemparan.
FH(Kepala) = 1/2 x 100 = 50
Kelereng-kelereng akan diambil sebanyak 100 kali pengambilan. Satu kelereng pada setiap pengambilan, dan setiap kelereng yang telah diambil tersebut kemudian akan dikembalikan ke dalam kaleng lagi. Sebelum pengambilan dilakukan, terlebih dahulu dihitung probabilitas Frekuensi Harapan perolehan kelereng warna merah (M) untuk 100 kali pengambilan.
FH(Merah) = M x 100 = 5/20 x 100 = 25
Selain Teori Klasik dan Teori Frekuensi Relatif, ada juga yang menambahkan Teori Subyektivis. Pada teori subjektivis, penetapan probabilitas didasarkan pada keyakinan-keyakinan subjektif individual. Akan tetapi, teori subyektivis ini sebenarnya merupakan teori efektif. Penyederhanaan atas ketidakmampuan menghitung banyaknya variabel yang terlibat. Misal, seteleh bercerai di tahun 2021, berapa probabilitas Bill Gates dan Melinda akan rujuk (menikah lagi) di tahun depan?
Selanjutnya, terkait peristiwa majemuk. Pada peristiwa majemuk, atau lebih dari satu peristiwa, estimasi dilakukan dengan menggunakan Kalkulus Probabilitas. Teori-teori probabilitas peristiwa individual dan teori-teori probabilitas peristiwa majemuk itu sendiri memiliki hubungan. Estimasi probabilitas peristiwa-peristiwa individual memberi landasan bagi penghitungan kalkulus probabilitas.
Kalkulus Probabilitas
Pada Kalkulus Probabilitas -- dengan konsep Skala Probabilitas yang berjangkauan dari 0 ke 1 -- peristiwa yang pasti terjadi ditetapkan bernilai 1 dan peristiwa yang pasti tidak bisa terjadi ditetapkan bernilai 0.
Misal, satu keping koin akan dilempar satu kali. Probabilitas perolehan gambar kepala atau gambar ekor adalah 1. Sedangkan probabilitas perolehan gambar kepala dan ekor adalah 0.
Terhadap kaleng dan kelereng-kelereng yang sama dengan di atas, akan dilakukan satu kali pengambilan kelereng. Hanya satu kelereng. Probabilitas perolehan kelereng merah, atau kelereng hijau, atau kelereng kuning adalah 1. Sedangkan probabilitas perolehan kelereng warna biru adalah 0.
Berbeda lagi dengan peristiwa kontingen. Peristiwa kontingen memiliki probabilitas lebih besar dari 0 tapi kurang dari 1. Misal, satu keping koin akan dilempar satu kali. Probabilitas perolehan gambar kepala adalah 1/2. Demikian pula probabilitas perolehan gambar ekor adalah 1/2.
Aturan-aturan utama Kalkulus Probabilitas didasarkan pada operasi aritmetik perkalian dan penjumlahan. Operasi perkalian digunakan untuk menghitung dua atau lebih peristiwa yang sama-sama terjadi. Jika peristiwa-peristiwa yang terjadi tersebut bersifat independen satu sama lain, maka probabilitas yang dihitung adalah sama dengan hasil kali probabilitas-probabilitas yang terpisah. P(A dan B) = P(A) x P(B). Disebut juga sebagai aturan konjungsi terbatas.
Jumlah koin ditambah satu. Sehingga, sekarang ada dua koin. Terhadap dua koin ini, akan dilakukan lemparan secara bersama-sama sebanyak satu kali. Probabilitas perolehan dua gambar kepala dalam satu kali lemparan terhadap dua koin tersebut adalah:
P(Kepala1 dan Kepala2) = 1/2 x 1/2 = 1/4
Operasi perkalian juga digunakan untuk menghitung probabilitas dua atau lebih peristiwa yang terjadi bersama-sama, yang bersifat dependen. Di sini, probabilitas bersifat kondisional. Probabilitas kondisional adalah kemungkinan suatu hasil yang terjadi berdasar pada suatu hasil sebelumnya yang telah terjadi.
Untuk menghitung probabilitasnya, maka digunakan rumus P(A dan B) = P(A) x P(B jika A). P(B jika A) adalah probabilitas bahwa B akan terjadi dengan asumsi bahwa A telah terjadi. Disebut juga sebagai aturan konjungsi umum.
Masih dengan satu kaleng dan kelereng-kelereng yang sama, akan dilakukan dua kali pengambilan kelereng secara berturut-turut. Di dalam satu kali pengambilan, hanya diambil satu kelereng. Kelereng yang telah diambil pertama kali tidak akan dikembalikan ke dalam kaleng lagi. Probabilitas perolehan dua kelereng warna merah dalam dua kali pengambilan tersebut adalah:
P(M1 dan M2) = P(M1) x P(M2 jika M1)
= 5/20 x 4/19
= 1/19
Jika peristiwa-peristiwa yang sama-sama terjadi adalah bersifat independen, maka aturan konjungsi umum diubah menjadi aturan konjungsi terbatas, sebagaimana telah ditulis di di atas.
Pada peristiwa-peristiwa yang bersifat alternatif secara eksklusif, estimasi probabilitas dilakukan dengan operasi aritmetik penjumlahan. Rumus yang digunakan adalah P(A atau B) = P(A) + P(B), yang juga disebut sebagai aturan disjungsi terbatas.
Penarikan kelereng di dalam kaleng akan dilakukan sebanyak satu kali. Dikehendaki perolehan kelereng berwarna merah atau kelereng berwarna kuning (berbeda warna). Hanya salah satu. Probabilitasnya adalah:
P(Merah atau Kuning) = 5/20 + 7/20 = 3/5
Jika peristiwa yang bersifat alternatif dan eksklusif adalah satu peristiwa yang harus terjadi, maka probabilitasnya adalah 1. Misal, probabilitas perolehan kepala atau ekor dalam satu kali lemparan satu koin:
P(Kepala atau Ekor) = 1/2 + 1/2 = 1
Pada peristiwa-peristiwa yang bersifat independen dan non-eksklusif (alternatif yang tidak saling menyisihkan), estimasi dihitung dengan operasi aritmetik penggabungan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) = P(A) + P(B) – P(A x B). Disebut juga aturan disjungsi umum.
Lemparan akan dilakukan sebanyak dua kali terhadap satu koin. Hasil yang dikehendaki adalah minimal satu kali sisi bergambar kepala. Probabilitasnya adalah:
P(Kepala1 atau Kepala2) = 1/2 + 1/2 – (1/2 x 1/2 ) = 1 – 1/4 = 3/4
Aturan disjungsi umum ini sebenarnya berlaku untuk sembarang dua peristiwa – apakah kedua peristiwa-peristiwa saling eksklusif ataupun kedua persitiwa-peristiwa tidak saling eksklusif.
Selanjutnya, kasus lima kaleng. Kelereng-kelereng di dalam kaleng juga ada perubahan. Jumlah dan warna-warnanya.
Dari lima kaleng tersebut, satu kaleng berwarna kuning dan empat kaleng berwarna orange. Kaleng kuning berisi 8 kelereng merah dan 2 kelereng putih. Empat kaleng orange masing-masing berisi 3 kelereng merah dan 7 kelereng putih. Satu kelereng merah diambil dari salah satu di antara lima kaleng tersebut. Berapa probabilitas bahwa kelereng merah tersebut diambil dari kaleng kuning?
Di dalam kasus lima kaleng ini, terdapat dua peristiwa kondisional. Teorema Bayes digunakan untuk menanganinya. Dinamakan Teorema Bayes sesuai dengan penemunya, Thomas Bayes, seorang matematikawan dan theolog Inggris abad 18. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas kondisional majemuk (dua atau lebih peristiwa kondisional), yang bersifat eksklusif.
Dengan mensubstitusikan K (kaleng kuning) untuk A1, O (kaleng orange) untuk A2, dan M (kelereng merah) untuk B, maka:
Nilai probabilitas yang telah ditetapkan atas suatu peristiwa bisa diubah dengan cara menghitung kembali estimasi nilai probabilitas. Hal ini dilakukan ketika ada informasi-informasi baru. Nilai probabilitas lama, yang sudah ada, diposisikan sebagai “probabilitas prior”, dan bersama dengan informasi yang baru digunakan untuk menghitung nilai “probabilitas posterior”.
Penutup
Probabilitas merupakan persoalan sentral di dalam logika induktif. Pada logika induktif, atau argumen induktif, konklusi diklaim mengikuti secara kemungkinan dari premis-premis. Tidak secara pasti.
Pada suatu argumen deduktif yang valid, bisa jadi konklusi bersifat benar, sedangkan premis-premisnya salah. Bisa jadi pula, konklusi benar dan premis-premis benar (valid dan sound). Akan tetapi, dua situasi ini tidak bisa begitu saja digunakan untuk menilai kekuatan dan ke-meyakinkan-nan suatu argumen induktif.
Pada argumen induktif, perlu dilihat apakah konklusi berhubungan dengan dan didukung oleh premis-premis. Dukungan inipun hanya dalam bentuk suatu derajat tertentu. Argumen induktif tidak mengklaim kepastian, tapi lebih pada derajat probabilitas. Kalkulus probabilitas bisa digunakan untuk mengevaluasi kekuatan suatu argumen induktif.
Aturan-aturan di dalam Kalkulus Probabilitas itu sendiri bisa dikombinasikan dengan beberapa cara. Sesuai kasusnya. Misal, dengan satu kaleng berisi 20 kelereng yang sama dengan di atas, kombinasi antara aturan disjungsi terbatas dan aturan konjungsi terbatas digunakan untuk menghitung probabilitas perolehan satu kelereng warna merah atau satu kelereng warna hijau dalam dua kali pengambilan, satu kelereng pada setiap pengambilan.
Aturan disjungsi umum dikombinasikan dengan aturan disjungsi terbatas, untuk menghitung probabilitas perolehan satu gambar ekor atau satu gambar kepala, dari dua kali lemparan secara bersama-sama terhadap dua koin.
Aturan disjungsi umum dikombinasikan dengan aturan konjungsi umum digunakan untuk menghitung kasus dua kaleng dengan isi kelereng yang berbeda. Kaleng pertama berisi 5 kelereng merah, 7 kuning, dan 8 hijau. Kaleng kedua berisi 8 kelereng merah, 7 kuning, dan 5 biru. Hendak dilakukan dua kali pengambilan kelereng untuk setiap kaleng. Setiap pengambilan, masing-masing satu kelereng, dilakukan secara bersama-sama antara kaleng 1 dan kaleng 2. Kelereng yang telah diambil pertama tidak dikembalikan lagi. Pengambilan pertama, dikehendaki satu kelereng merah. Pengambilan kedua, dikehendaki satu kelereng kuning.
Probabilitas Kalkulus juga bisa digunakan dalam kombinasi dengan teori Frekuensi Relatif. Misal, untuk menghitung probabilitas pria dan wanita usia 20 tahun masih hidup 50 tahun lagi (dua-duanya ataupun salah satunya). Tentu saja, masih ada keterbatasan-keterbatasan pada masing-masing teori. Termasuk Teorema Bayes.***
DAFTAR PUSTAKA
Alfa, Januar M. & Irwan Arbi. 2014. Buku Lengkap Cerdas Pintar Matematika SMA/MA Kelas 10, 11, 12. Yogyakarta: Pena Mas Publisher.
Ayres Jr, Frank., Philip A. Schmidt, George J. Hademenos. 2006. Matematika Universitas, Schaum’s Easy Outlines. Jakarta: Penerbit Erlangga. (asli: Schaum’s Easy Outlines, College Mathematics. Penterjemah: Chrisman Silaban).
Copi, Irving M., Carl Cohen, Kenneth McMahon. 2014. Introducton to Logic. Essex: Pearson.
Hurley, Patrick J. 2015. A Concise Introduction to Logic. Stamford: Cengage Learning.
Negoro, ST. & B. Harapap. 2010. Ensiklopedia Matematika. Bogor: Ghalia Indonesia.
